La période classique

Les premiers événements
 
 

On trouve de très bonne heure des pavages réguliers du plan et de l’espace ainsi que des figures solides. En effet, il aurait été curieux qu’il en fut autrement pour le carré et le cube. Les premiers cubes rencontrés sont des dés, et le dodécaèdre (régulier) fut retrouvé dans des ruines Etrusques. Pourtant, jusque là, on est loin d’une quelconque étude mathématique.

Malgré les récentes revendications cherchant à prouver le contraire, il semble clair que les grecs furent les premiers à concevoir les maths comme nous l’entendons aujourd’hui. L’école de Pythagore (VI^ème siècle avant J.C.) aurait eu connaissance des cinq solides réguliers, et du pentagrame régulier (apparemment utilisé comme un symbole de bonne chance).

Les solides réguliers de l’espace ordinaire ont été nommé après Platon (par Aristocles, fils d’Ariston 427-347 avant J.C.). Mais comme cela arrive parfois, c’est en fait une mauvaise attribution faite par Héron (les solides réguliers sont aussi appelé solides de Platon). La première étude mathématique de ces solides a été faite par Théétète (369 avant J.C.). Dans le Timée, Platon discute des solides réguliers. Mais il est apparent qu’un trop grand enthousiasme altéra sa compréhension mathématique. Pour illustrer son thème il mentionne des balles en plâtre faite à partir de douze pentagones. Plus curieusement, il décrit les trois solides triangulaires (tétraèdre, octaèdre, icosaèdre) comme étant construits à partir de triangles équilatéraux eux-mêmes divisés en 6 triangles rectangles (la moitiés d’un triangle équilatéral). Ainsi anticipant le kaléidoscope et ses réflexions planes. Malheureusement, Platon ne vit pas la formule générale, puisque les faces du cube sont seulement divisées en 4 triangles rectangles (et le dodécaèdre n’est pas décrit de la même manière).

Aristote, qui fut élève de Platon (384-322 avant J.C.)ne mérite qu’une brève citation pour son affirmation erronée disant que le tétraèdre régulier est un pavage de l’espace ordinaire. Malheureusement, cette opinion ne fut pas vérifiée jusqu’à des temps relativement récents.
 
 

Euclide

Eléments (Stoikeia) d’Euclide est indubitablement le plus vieux livre de vraie mathématique, dans le sens où il reconnaît totalement les différences entre axiomes, théorème, définition et preuve. Une partie de ces livres (le premier des six, notamment) nous est parvenue, sans grand changement, formant une bonne introduction à la géométrie basique. En fait il est incertain qu’Euclide ait découvert le contenu de ce livre, ou même complété. Notre ignorance au sujet d’Euclide lui-même renforce notre incertitude d’autant plus qu’il vécut et travailla probablement à Alexandrie au temps de Ptolémée I Soter (qui régna de 323 à 283 avant J.C.).

Les solides réguliers sont présentés dans le livre XIII. Ils sont décrits tous les cinq, et utilisant une preuve meilleure que celle utilisée aujourd’hui (à savoir le fait que la somme des angles internes d’un polygone est inférieure à p) il montre qu’il n’en existe que cinq.

Davantage de résultats à propos des solides réguliers sont présentés dans les livres XIV et XV (qui ne sont pas d’Euclide), en particulier une anticipation de la dualité.
 
 

La période médiévale

Le début du Moyen- Age

Sous l’empire romain chrétien, on revint à un niveau de connaissance relativement pauvre, quand le dernier philosophe d’Alexandrie, le talentueux Hypatie (375-415 de notre ère) fut taillé en pièce avec des écailles d’huîtres par une foule de fanatiques chrétiens (ayant à leur tête Bishop Cyril, plus tard canonisé). Savoir lequel des deux groupes de fanatiques religieux (des chrétiens ou des musulmans) est responsable (si c’est le mot approprié) de l’incendie qui ravagea la bibliothèque d’Alexandrie est toujours un débat d’actualité. Les pertes ont été considérables.

L’attitude de Bizance (à l’est de l’empire romain), empire des mathématiques, et des autres sciences, fut clairement ambiguë, alternant entre encouragement et censure. Justinien I^er (qui régna de 527 à 565) sembla tout d’abord encourageant, mais ferma bientôt l’Académie d’Athène en 529.C’est grâce à quelques personnes du IX^ème (en particulier à Léo " le mathématicien ") et du IX^ème siècle que nous avons pu conserver les manuscrits grecs d’Euclide.

Le flambeau des mathématiques fut repris alors par les Arabes, bien qu’il semble qu’ils aient peu fait en géométrie (les contributions du monde islamique se firent surtout en algèbre, ce qui est une matière très différente). Ils ont eu un bon savoir empirique sur les groupes de symétries ; A l’Alhambra on a retrouvé les 17 pavages du plan possibles, présentés selon les 17 groupes symétriques existants.
 
 

La fin du Moyen- Age

A partir du XII^ème siècle, les connaissances en mathématiques commencent à revenir en Europe de l’ouest. Thomas Bradwardine, " le docteur absolu " (1290-1349), Archevêque de Canterbury pour juste 50 jours (il mourut de la peste), étudia de manière systématique les polygones étoilés, obtenant {n/d} en étoilant {n/(d-1)}.

Bien que Kepler et Poinsot soient les découvreurs des polyèdres étoilés de la troisième dimension, le polyèdre {5/2,5} fut peint par Paolo Uccello en 1420, et le {5,5/2} figure sur une gravure de 1568 attribuée à Wentzel Jamnitzer.
 
 

La période moderne

Avant Schläffli

Johannes Kepler (1571-1630) commença l’étude moderne sur les polytopes réguliers par la découverte de 2 polyèdres étoilés {5/2,5} (en fait une redécouverte) et {5/2,3}. Il étudia aussi les différents polygones étoilés réguliers, en particuliers les heptagones. Quoiqu’il en soit, les effets prolongés du Moyen- Age (ou peut-être de l’époque classique) se font ressentir dans ses tentatives à identifier les mesures relatives des orbites des planètes aux rapports des rayons des sphères inscrites et circonscrites des polyèdres réguliers.

En 1809, Louis Poinsot redécouvrit les deux premiers polyèdres étoilés et trouva leur duaux : {5,5/2} (là encore en fait une redécouverte) et {3,5/2). Plus tard, Cauchy montra qu’il n’y en avait pas d’autre (4 au total).
 
 

Schläffli

Il arriva un moment où beaucoup de mathématiciens conçurent l’importance des travaux dans les dimensions supérieures à 3. Ludwig Schläffli (1814-1895) découvrit les polytopes réguliers et les cribles (honeycombs) en dimension 4 (et plus) vers 1850. En fait, il trouva en conséquence tous les polytopes réguliers dont les groupes de symétries sont générés par des réflexions en hyperplans dans l’espace euclidien, ou, plutôt, il trouva tous leurs groupes. Mais contrairement aux évidences qu’il avait devant lui, il refusa de reconnaître comme véritable polyèdre la paire de duaux : {5/2,5},{5,5/2), et donc ne voulu pas accepter non plus les polytopes réguliers de dimension 4 qui ont ceux-ci pour faces ou pour résultat de troncature. Il faut tout de même signaler les calculs de volume sphériques qui correspondent au tétraèdre de dimension 3 qui fut une partie centrale de son étude.

A partir de 1880, les polytopes réguliers dans les dimensions supérieures sont redécouverts à plusieurs reprises, le premier fut Stringham. Edmund Hess trouva les polytopes étoilés réguliers restant, et S.L. van Oss prouva que la liste était complète.
 
 

Coxeter

Le sujet des polytopes réguliers devint un sujet en déclin après avoir été traité par H.S.M. (Donald) Coxeter (1907). Ses recherches et consolidations sur la théorie culmine dans son fameux livre Regular Polytopes, publié en 1948. Ses contributions sont beaucoup trop nombreuses pour être énumérées ici, mais nous nous devons de signaler tout de même les diagrammes de Coxeter, et la classification complète des groupes de réflexions euclidiennes discrètes, parmi tous les groupes de Coxeter.

Mais Coxeter mit aussi en évidence un peu plus tard les développements de la théorie. En particulier, quand J.F. Pétrie (1907-1972) (l’inventeur des polygones "tordus" qui portent son nom) trouva les 2 apeiroèdre (polyèdres au nombre de faces infini) réguliers torsadés {4,6|4} et {6,4|4}, Coxeter trouva immédiatement le troisième {6,6|3} et établit toute la théorie dans un contexte général. Il vit aussi les plans réguliers et leurs groupes d'automorphisme, considérant les polyèdres étoilés comme des exemples particuliers, il observa d’abord que les polygones de Pétrie d’un plan régulier eux-mêmes (usuellement ) forment un autre plan régulier. En 1975, Grünbaum donna à la théorie davantage d’impulsion. Il généralisa les polyèdres réguliers torsadés. Il trouva 8 exemples individuels supplémentaires et 12 familles infinies (avec des réalisations non congruentes d' apeiroèdres isomorphes) et compléta la classification en trouvant la dernière case manquante.