Si on appelle S le nombre de sommets,
A le nombre d'arêtes et
F le nombre de faces d'un polyèdre,

Démonstration :

On veut travailler dans un plan ; l’idée est d’ôter une face de P (la face ôtée est mise de côté, mais il ne faudra pas l’oublier)et de faire une projection stéreéographique sur le plan : on se donne un plan et un point (au dessus de la face)
 

On obtient un figure plane composée de polygones ayant les propriétés suivantes :
Les polygones considérés constituent une décomposition d’un grand polygone convexe. De plus ils se rencontrent deux à deux selon des sommets ou des côtés.

Lemme : Si on retire une arête intérieure, on retire en même temps une face. Ceci n’a donc pas d’impact sur la relation à démontrer :      S - (A-1) + F-1 = S - A + F
Si l’on simplifie le polygone en enlevant des arêtes, et donc des faces, il arrive un moment où le fait d’en enlever une de plus va enlever en même temps non plus une face, mais un sommet. Là non plus, cela ne change pas la relation d’Euler :
                       S-1 - (A-1) + F = S - A + F

Si on continue ainsi, on simplifie tellement le polygone de départ qu’il ne reste plus qu’une droite – ou encore deux sommets et une arête. La relation d’Euler S-A+F est donc ici égale à 2-1+0=1. Mais nous avons encore une face mise de côté tout à l’heure, et qu’il est temps de ressortir. Et donc la relation d’Euler donne : 2-1+1=2 et S-A+F=2. CQFD.

Notations : pour un polyèdre P, on introduit les notations suivantes :
a = ensemble des arêtes de P, A=card(a)
si = ensemble des sommets de P appartenant à i faces, Si=card(si)
s = ensemble de tous les sommets de P, S=card(s)
fi = ensemble des faces de P qui ont i côtés, Fi=card(fi)
f = ensemble de toutes les faces de P, F=card(f)

On a alors pour P les relations suivantes :
S=S(Si)
F=S(Fi)
2A= S(iSi)= S(iFi)

La formule d’Euler permet de dénombrer les polyèdres réguliers convexes.
Dans un espace affine de dimension 3, soit P un polyèdre tel que chaque sommet appartient à un nombre constant r des faces et chaque face à un nombre constant s de sommets.
On veut alors montrer que le couple {r,s} ne peut prendre que cinq valeurs : {3,3} {3,4} {4,3} {3,5} {5,3}. Ces couples représentant les symboles de Schläffli des cinq polyèdres platoniciens.

  En effet, si on reprend les notation indiquée plus haut, on a :
 

S=S(Si)
	2A = S(iSi) = S(iFi) on a donc : 2A=rF=sS
F=S(Fi)

Or la formule d’Euler nous donne : S-A+F=2 d’où 1/r + 1/s = ½ + 1/A

On développe la relation d’Euler : F + S = A – 2 , d’après les notation utilisées plus haut :

F= SFi et S=SSi

On compte maintenant les arêtes à partir des faces et

2A = SiFi = SiSi

Pour toute fraction f comprise entre 0 et 1, on aura également :

A=f/2 S(iFi) + (1-f)/2 S(iSi)

Si on applique maintenant la relation d’Euler, on aura pour tout polyèdre convexe :

(2-if)Fi + [if-(i-2)]Si = 4

Comme nous sommes maître de la valeur de f, cette relation nous permet de faire beaucoup de choses. On cherche à dénombrer les polyèdres qui ont tous leurs sommets équivalents (même nombre de faces par sommet, même nombre d’arêtes), c’est-à-dire pour que quelque soit i on ait Si=0 sauf pour une valeur particulière q : " i¹ q Si=0.
Afin que le nombre de sommets soit quelconque, il suffit de choisir une valeur de f annulant le coefficient de Sq, soit (2-q + fq)=0, c’est à dire f=1-2/q. il est ainsi possible de démontrer qu’il n’existe que 13 polyèdres semi- réguliers en faisant varier la valeur de q de 3 à 6

Pour q=3 on obtient la famille des polyèdres triconnectés (3 faces par sommets) qui comprend 7 polyèdres semi- réguliers : (troncature des réguliers + 2 archimédiens autres). On obtient aussi 3 polyèdres réguliers et une infinité de prismes.

Pour q=4 on obtient la famille des polyèdres tétraconnectés (4 faces par sommets) qui comprend 4 polyèdres semi- réguliers (cuboctaèdre et icosidodécaèdre ainsi que leur version rhombique). On obtient aussi un polyèdre régulier (octaèdre) et une infinité d’antiprismes.

Pour q=5, on obtient la famille des polyèdres pentaconnectés (5 faces par sommets) qui comprends 2 polyèdres semi- réguliers (cube et dodécaèdre adoucis) ainsi qu’un polyèdre régulier (icosaèdre)

Les polyèdres hexaconnectés (q=6) n’existent pas en accord avec le fait que six triangles équilatéraux partageant un même sommet forment un objet plan et ne peut donc pas se refermer sur lui-même en 3 dimension pour former un polyèdre en volume.

On a donc 5 polyèdres réguliers.
Et 7 triconnectés + 4 tétraconnectés + 2 pentaconnectés = 13 polyèdres semi- réguliers.
En réalité, le snub cube et le snub dodécaèdre existent en deux versions (gauche et droite) chacun, ce qui nous amène à 15 polyèdres archimédiens. Les familles infinies de prismes et d'antiprismes sont aussi considérées comme faisant partie des polyèdres archimédiens.